La Calebasse Réparée

01 novembre 2008

Sans Mathématiques, point de développement de l'Afrique, par M'Boka Kiese

Cette pensée gouvernait l’esprit du premier congrès panafricain des mathéma-ticiens tenu à Rabat au Maroc en 1976. L’Afrique, quarante ans après les indépendances, souffre d’analphabétismes et d’illettrismes, sources de son sous-développement écono-mique. Des mathématiciens du monde entier(1) furent appelés en consultation. Ils avaient répondu à l’appel du Camerounais Hogbe-Nlend afin de réfléchir sur les possibilités d’une refondation de l’enseignement des mathématiques et de la recherche en Afrique.

Certains chefs d’état africains apportèrent leurs concours à la réussite de cet évènement prodige par l’envoi de différents messages de soutien aux congressistes. Le commandant Marien Ngouabi, président du Congo-Brazzaville, ayant repris sa formation par des recherches en sciences physiques à l’état-major où il avait installé un laboratoire, tout en cumulant ses hautes responsabilités politiques, y pressentit le signe d’une renaissance de l’Afrique. Son message fut incisif : " Les racistes prétendent que les Africains sont imperméables aux mathématiques et d’une manière générale aux théories abstraites. Ce congrès est un démenti cinglant à cette thèse " (Sic). C'est le manifeste de l'épistémologie kabidiale (2) :"Biso pe tozali na ba nganga na biso (lingala), Beto mpe bankua ngangu be neto (kikongo), Nous aussi, nous avons nos propres savants". Il est acquis, le développement est long processus d’apprentissage des savoirs mathématiques et des savoir-faire en vue d’un transfert de technologie vers d’autres disciplines de la théorie de la connaissance : biologie, physique, chimie, économie, gestion, informatique, etc. La mathématique ayant acculé la métaphysique et ses présupposés irrationalismes, développe chez l’apprenant l’esprit rationaliste contre le soupçon primaire, l’esprit logique contre le complot, la certitude contre le scepticisme, la foi contre la peur, caractères indispensables à la production des sciences et des technologies. Bien avant ce congrès l’élite sénégalaise depuis le festival des arts nègres en 1966 (3) tonnait au rythme de la négritude. Le 8 décembre 1975, à Dakar un colloque préparatoire sur l'enseignement des mathématiques dans les universités africaines avait précédé ce premier congrès. Dans son allocution d'ouverture à ce colloque le Président Senghor avait exhorté les mathématiciens africains à travailler dans le sens que "la mathématique est, avant tout, un humanisme."(4)

1. Négritude et mathématiques. Du 12 au 18 avril 1971 à Dakar, capitale du Sénégal, L’Union progressiste sénégalaise (UPS), l’ancêtre du parti socialiste sénégalais, avait organisé un colloque sur la Négritude. A la suite de la " Problématique de la Négritude ", une conférence prononcée par le Président Senghor, le Mathématicien Sénégalais Souleymane Niang, Professeur à la Faculté des sciences de Dakar, lors d’une table ronde avait dégagé une filiation gnoséologique entre " Négritude et Mathématique ".

Ce travail fut publié dans la revue Présence Africaine (n°78, 1971 ). Ce travail avait attiré l'attention de l'actuel Sous-Directeur général pour l'Afrique auprès de l'Unesco, le béninois Noureini Tidjani-Serpos. Pourtant littéraire, ce dernier avait critiqué l’article de Souleymane Niang. La critique intitulée " A propos de Négritude et Mathématiques " fut publiée par Présence Africaine dans le numéro 82 de l’année 1972. Le texte de Tidjani Serpos reçut la réponse immédiate de Souleymane Niang dans la revue Présence Africaine (n°83, 1972). Tous ces trois articles furent reédités par la revue dakaroise Ethiopiques numéro 3 juillet 1975. Les vers senghoriens, césairiens et damasiens susceptibles d’influer sur la proposition logique n’ont jamais été interrogés. La poésie peut elle servir d’intuition aux mathématiques ? Nous reviendrons plus tard sur ce débat épistémologique fondamental ayant préoccupé deux chercheurs africains, Souleymane Niang et Noureini Tidjani-Serpos.

2. Hogbe-Nlend et le premier congrès panafricain des mathématiques. Du 26 au 31 juillet 1976, sous la présidence d’honneur de sa Majesté le Roi Hassan II, sous les auspices de l’Unesco et de l’Union mathématique internationale, Mathématiciens africains et leurs homologues venus d’Europe, d’Amérique et d’Asie se réunirent à Rabat au Maroc afin de réfléchir sur possibilités offertes par les sciences mathématiques d’infléchir sur le sous-développement du continent africain. La devise exacte du premier Congrès panafricain des Mathématiciens fut la suivante : " Sans Mathématiques, point de développement ! ". D’après le professeur camerounais Henri Hogbe-Nlend , premier Président de L’Union Mathématique Africaine, de 1976 à 1986, le programme général de ce Congrès comportait deux parties :
" […]
Une partie de " technique mathématique " proprement dite, consistant en une série d’environ quatre-vingts conférences et communications mathématiques, portant principalement sur des disciplines mathématiques les plus proches des applications aux autres sciences et à la technologie. […]

Une partie de " politique mathématique " portant sur les trois sujets suivants :
1. enseignement des mathématiques en Afrique ; 2. coopération dans le domaine des mathématiques et leurs applications ; 3. création d’une association savante dénommée " Union Mathématique Africaine " (U.M.A.) par l’élaboration et l’adoption de ses statuts et l’élection de son organe directeur […]"(5).

Ce congrès aboutit à la création d’une revue scientifique Afrika Matematika domiciliée à l’origine dans les années 1980 au Département de Mathématiques de l’Université Marien Ngouabi de Brazzaville (CONGO). Le mathématicien congolais Mizère Dominique fut à cette époque pendant dix ans chef de ce département ; le professeur Sékou Traoré d’origine guinéenne enseignant au même département et allié à Hogbe-Nlend fut membre (de 1976 à 1986) puis vice-président de l’UMA, passée après 1986 sous la direction du Nigérian A.O. KUKU.

Curieusement, les mathématiciens africains brillèrent par leur indifférence au débat "Négritude et mathématiques". La création de la société savante, l’union des mathématiciens africains, avait également esquivé ce débat. La difficulté de travailler rationnellement sur la négritude à l’époque de Senghor était due à ses implications politiques et idéologiques. Tout chercheur de bonne foi pouvait être soupçonné de travailler pour le prince et non pour la quête de la vérité scientifique. La cohabitation dans le continent africain de deux cultures, la culture nègre et la culture arabe avait eu raison de ce débat. En 1966 certains pays africains et mouvements révolutionnaires avaient boycotté le festival des arts nègres organisé par le Sénégal, festival enchantant la négritude. L'Algérie avait repliqué par un contre festival, le festival pan africain d'Alger en 1969 où affluèrent des mouvements progressistes opposés à l'idéologie de la négritude. Au congrès de Rabat, il fallait ménager la présence des mathématiciens du monde arabe africain les plus représentatifs à ce congrès tenu au Maroc. Le débat "Négritude et mathématiques" fut occulté.

3. Le prix Math-Senghor. Entre temps l’ancien Ministre de la Recherche Scientifique et Technique Henri Hogbe-Nlend, délivré de ses fonctions ministérielles au Cameroun devient Président de l’Espace Mathématique Francophone, une Organisation mondiale regroupant des mathématiciens d’expression française (sic). Le Conseil d’administration de cette institution réuni à Paris le 19 mai 2006, dans le cadre de la célébration du centenaire de la naissance du premier Président du Sénégal, annonce la création d’un grand " Prix mathématique Léopold Sédar Senghor ". " Le prix Math-Senghor, argumente le communiqué de presse, sera un prix d’encouragement et de promotion des travaux originaux de qualité exceptionnelle dans le domaine de l’enseignement, de la recherche et des applications des mathématiques, réalisés par des jeunes mathématiciens de moins de quarante ans, prioritairement d’Afrique et de la diaspora africaine mondiale, sans distinction de race, de sexe ou de nationalité et publiés en français "(sic). Il me semble que cet attrait de Senghor pour les mathématiques et son militantisme pour la francophonie ont abouti à la création du prix Math-Senghor : " […] dans la nouvelle réforme sénégalaise de l’enseignement, Les Mathématiques constituent la priorité des priorités, parce que la base nécessaire de toute science et de toute technique "(6).

3.1. La médaille Fields. En limitant l’âge des lauréats à quarante ans, le prix Math-Senghor s’est subordonné aux règlements de la Médaille Fields. Fields John Charles (1863-1932), de nationalité canadienne fut Professeur à l’université de Toronto. En 1924, au congrès mathématique de Toronto, Fields fit une proposition pour compenser l’absence d’un prix Nobel de mathématiques. En 1932 au neuvième congrès international des mathématiciens tenu à Zürich (Suisse), le don de Fields fut accepté. Attribuée tous les 4 ans la médaille Fields est destinée à compenser les mathématiciens occidentaux de moins de 40 ans ayant inauguré en mathématiques. La première médaille fut attribuée au mathématicien finlandais Lars Ahlfors en 1936. Pourquoi n’existe-t-il pas de Prix Nobel de Mathématiques ? Le chimiste suédois Alfred Nobel (1833-1896) avait fait fortune dans l’industrie naissante de la dynamite. Dans son testament il demanda l’attribution de cinq prix Nobel dans le domaine de la physique, la chimie, la médecine, la littérature et la paix, sans distinction d’âge. Alfred NOBEL punit les mathématiciens à cause d’un différend amoureux l’opposant à son compatriote, le mathématicien suédois Mittag-Leffler Gösta (1846-1927). Ce dernier fut protecteur des mathématiciens, en éditant les mathématiciens de renom, son propre maître Karl Weierstrass (1815-1897) ; comme en découvrant des talents exclus des castes mandarinales, la russe Sophie Kovalevskaïa (1850-1891). Dès qu’il obtient sa chaire de mathématiques à l'université de Stockholm, Mittag-Leffler tout en enseignant, fonda en 1882 la revue Acta Mathematica où des mathématiciens décriés comme Georg Cantor auront la chance de publier en français ses travaux sur les séries trigonométriques et la naissance de la théorie des ensembles.

3.2. Le prix Abel. Pour combler l’absence d'une médaille Fields de mathématiques, dont les lauréats dépassent la quarantaine, le gouvernement norvégien a créé en 2002, un " prix Abel " à l'occasion du bicentenaire de la naissance du mathématicien norvégien Abel Niels Henrick (5 août 1802-1829). Les travaux d’Abel sur les fonctions elliptiques, proposés en 1826 à l'Académie des Sciences par le mathématicien français Jean Nicolas Pierre Hachette (1769-1834) furent rejetés par l’Allemand Carl Friedrich Gauss (1777-1855) et le Parisien Adrien Marie Le Gendre (1752-1833). Le baron Augustin Cauchy (1789-1857) arriva à égarer les travaux d’Abel puis les retrouva après la mort de celui-ci. L’Allemand Carl Gustav Jacobi (1804-1851) exhuma et comprendra le génie du jeune mathématicien Abel. Le premier prix Abel fut décerné le 3 avril 2003 au mathématicien français Jean-Pierre Serre. Cette année 2008 il a été décerné à deux mathématiciens dont le franco-belge Jaques Tits.

3.3. Problématique du Prix Math-Senghor. Le prix Math-Senghor pose des lacunes épistémologiques majeures. Sur quelle base est-il attribué ? Ce prix Math-Senghor ne s’adresse pas à la jeunesse africaine de moins de quarante ans. La majorité de la jeunesse africaine est exclue des marchés du travail et de la population active. Il faut reformuler la notion de jeunesse africaine, la repenser en de nouveaux termes. La position démographique adoptée par les Nations Unies est réductrice. Elle confine les jeunes à une tranche d’âge allant de quinze à vingt ans. Dans quel registre devra-t-on classer des adultes de trente, voire quarante ans n’ayant pas accédé à une émancipation économique et sociale ? Comment pourra-t-on traiter la situation tragique des enfants soldats, des enfants réfugiés à l’intérieur du continent africain, consécutive aux guerres civiles, les conditions des enfants émigrants (bassin du Sénégal, Mali, Somalie) de transit au Maghreb, des enfants esclaves (Congo Démocratique, Bénin, Ghana…), la jeunesse scolarisée vouée au chômage, la jeunesse déscolarisée errante, c’est-à-dire sans emploi et sans domicile fixe, les jeunesses africaines américaine et européenne en crise d’identité ?

3.4. Les travaux des Africains du Continent. Pendant sa carrière professionnelle d’enseignant en mathématiques dans une université africaine l’Africain reproduit au sens de Pierre Bourdieu le savoir mathématique assimilé auprès de ses maîtres occidentaux. La revue Afrika Matematika dont la mission primordiale fut de promouvoir la recherche innovatrice africaine avait échoué dès son lancement. Publier un article dans cette revue est un véritable parcours du combattant. Les articles publiés dans cette revue furent une reproduction des thèmes usités dans les universités occidentales. Aucune rupture épistémologique ne transparaissait dans les publications.

Prenons le sommaire d’AfriKa Matematika, volume II – N° 2 – 1980 :

• Eigenvalue and eigenmatrix problems for a second order differential equation by D. N. Offei (Cape Coast / Ghana) ;
• A sufficient condition for Nikodym type domains by ABIY Kifle (Addis Ababa/ Ethiopia) ;
• Sur la théorie des anneaux excellents en caractéristique zéro, II par Hamet Seydi (Dakar/Sénégal) ;
• Inéquations variationnelles et système d’inéquations quasi-variationnelles d’évolution de type parabolique par O. Nakoulima (Ouagadougou/Haute-Volta) ;
• Espaces de Holder et estimées de Schauder pour des opérateurs elliptiques par J. P. Ezin (Cotonou/Bénin).

Prenons ensuite le sommaire d’AfriKa Matematika, volume VI – 1984 :

- On generalization to Gronwall’sintegral inequality, by M. Sobeth, G. Hamad (Egypte) ;

- On extensions of subgroup homorphism to homomorphisms of groups, by V.D. Madaam (Sokoto, Nigeria), P. Nath (Dehi, India).

• Sur la résolution du problème des ondes longues dans un fluide parfait, par Abdallah Chalabi (Algérie) ;
• L’aspect choix de métrique dans l’analyse d’un cube de contingence, par Dominique Mizere (Congo).

La majorité des publications de la revue Afrika Matematika allaient à l’encontre des recommandations du Congrès de Rabat 1976. Prenons deux actes :

" 1. Le congrès s’élève contre toute importation de structures scolaires ou universitaires par les pays africains et suggère l’élaboration de systèmes d’enseignement et de programmes conformes à nos soucis de développement. […]

1. Le congrès estime que le plus important est de rechercher des voies appropriées d’application des mathématiques à la solution de nos problèmes de façon à garantir l’économie de temps indispensable pour combler notre retard. "(7)

3.5. Les raisons du nominalisme scientifique. De retour en Afrique, l’Africain ne possède plus les moyens de production, les laboratoires, les bibliothèques, les instituts de recherche, les rencontres scientifiques qui étaient à sa portée du fait de sa période sabbatique occidentale. Comment dans le contexte du sous-développement du continent africain et de la diaspora africaine dans le monde, un jeune Africain de moins de quarante ans peut-il inaugurer en mathématiques en gardant l’autonomie de ses recherches et de ses publications sans que ses maîtres pour la plupart des Occidentaux ne puissent s’attribuer la paternité des ses travaux ? Comme dans les rapports de force entre les jeunes inconnus Niels Abel, Evariste Galois et le mandarin Augustin Cauchy. Les Africains de la Diaspora sont confrontés aux difficultés de publication. En Europe, on les intègre rarement dans les Universités et les Instituts de recherche. Ils sont réduits le plus clair de leur temps à enseigner dans le secondaire nantis de thèses de Doctorats. Une lutte de classes (8) entre élites africaines et élites occidentales règne dans les pays européens pour l’accès aux emplois dans l’enseignement supérieur et la recherche. Dans M'boka Kiese (9) nous avons plaidé la cause des ces chercheurs, penseurs africains indépendants et non institutionnels exclus des Universités d’Etat en Afrique et en Europe. Qu’ils aient soutenu une thèse de doctorat ou non, la question tourne autour de la paternité des travaux de recherche. A qui appartiennent ces travaux ? Au chercheur ou au Directeur des recherches ? A l’Etat ou à l’individu ? Les travaux remarquables d’un chercheur sont réalisés pendant sa période de soutenance pré doctorale. Quand l’esprit ou la conscience n’a pas encore été formaté. Le directeur de recherches tire profit de cette période sabbatique de son étudiant ; il monte en grade dans la hiérarchie officielle, pendant qu’il est attribué un petit parchemin à son étudiant. Il lui faudra attendre d’être nommé Directeur de recherches dans une université ou dans un Institut de recherches pour exploiter à son tour ses propres étudiants. La recherche est un système d’exploitation de l’homme par l’homme. Ces relations de subordination apprenants - enseignants sont disproportionnées ; elles ne profitent pas aux Africains ; la recherche est pratiquement inexistante en Afrique ; chercheurs, les jeunes Africains ont troqué leur fraîcheur juvénile en Occident contre un parchemin dont ils sont nantis et pour lequel, ils deviennent incapables de transformer les réalités de l’Afrique contemporaine. Concernant la recherche en mathématiques, pour les Africains, nous avons posé ce problème dans notre article (10). Les comités éditoriaux des journaux de recherche rejettent systématiquement les travaux de recherches menés librement par les chercheurs et penseurs indépendants non institutionnels. La recherche scientifique souffre de son apartheid.

4. Les Mathématiques du Développement. L'actuel Président du Sénégal Abdoulaye Wade ne participa pas au premier Congrès pan-africain de mathématiques à Rabat au regard de la liste des participants sénégalais. Il fut par contre présent au premier Congrès international des Ecrivains et Artistes Noirs organisé par Présence Africaine en 1956 autour d'Alioune Diop son directeur. Son thème de prédilection lors de ce congrès fut le droit et non les mathématiques. Il y prononça une conférence intitulée, "L'Afrique doit-elle élaborer un droit positif ?" Nous pouvons avancer avec conviction et honnêteté intellectuelle, l'ouvrage du Président Abdoulaye Wade, Les mathématiques de l'analyse économique, témoigne de l'esprit du premier congrès pan-africain des mathématiques.
C'est un classique pour les économistes et les étudiants en sciences économiques et en gestion afin d'assimiler les outils mathématiques. Il aurait pu l'intituler, Mathématiques pour économistes. Les Occidentaux ont élaboré des quantités d'ouvrages de ce genre. Son intérêt est ailleurs. L'ouvrage se termine par un chapitre ambitieux et novateur, "Application des mathématiques au plan Nepad". Par ce thème, il travaille sur les recommandations du premier congrès pan-africain de mathématiques à Rabat. Nous renvoyons le lecteur à consulter le site officiel du NEPAD, L'acronyme Nepad signifie New Partnership for Africa's Development. La traduction française donne Nouveau partenariat pour le développement de l'Afrique. C'est une vision stratégique pour la Renaissance de l'Afrique. Ce plan macroéconomique fut un compromis entre deux plans, le plan Omega du Président Wade et le MAP, Millenium African Plan, des Présidents Thabo Mbeki de l'Afrique du Sud, Olesegun Obasanjo du Nigéria et Abdelaziz Bouteflika de l'Algérie. Le transfert de technologie entre les mathématiques et le Nepad dans l'ouvrage du Président Wade porte sur l'allocation optimale des financements du Nepad entre les secteurs de l'économie continentale. Le président Wade propose un modèle mathématique de la décision pour l'Autorité continentale. Outre le Nepad, le président Wade a également contribué aux mathématiques du développement, par une formule devenue célèbre, The Wade formula : St = (Pt - 29)Qt. Cette formule fut publiée pour la première fois dans le Financial Times le 22 septembre 2006 dans un article intitulé "Africa over a barrel". Le président Wade essaie dans cette formule de calculer la surprofit (St) réalisé par les compagnies pétrolières opérant en Afrique ; les rentes pétrolières perçues par les pays africains producteurs de pétrole et la surcharge pétrolière subie par les pays africains non producteurs de pétrole (PANPP). Qt est la quantité de pétrole extraite du sol africain ; Pt est le prix de référence du baril de pétrole en dollars aux Etats-Unis durant l'année t; 29 est le cours moyen en dollars du baril en 2003. On peut donc créer un fonds pétrole contre la pauvrété réversible aux pays africains non producteurs de pétrole.

5. Le modèle mathématique de Nkrumah. Le premier président ghanéen, Nkuame Nkrumah, fut le premier philosophe ayant tenté de penser le développement dans Consciencisme. Après avoir fait l’anamnèse des blessures occidentales, musulmanes et euro-chrétiennes infligées aux Africains, dans l’esprit du matérialisme dialectique, le président Nkrumah propose au dernier chapitre de son ouvrage, une « Formulation mathématique du système », une tentative de rationalisation logico-mathématique du sous-développement. Cependant Nkrumah avait manqué son objet. Nous l'avouons, ce fut une imposture. Cette position critique ne discrédite ni le philosophe, ni l'acteur politique Nkuame Nkrumah. La méthodologie utilisée au dernier chapitre de Consciencisme restait empirique comme chez David Hume. Paul Foulquié dans La dialectique (11) parlant de la méthodologie des mathématiques poursuit la démarche kantienne : « La pensée mathématique tire son origine de l’expérience sensible. A partir du donné sensoriel, l’esprit forme des notions abstraites auxquelles il substitue ensuite des signes conventionnels. Avec ces éléments, le mathématicien construit un monde mental nouveau par des processus qu’il estime purement rationnels ». Les concepts créés en philosophie ne peuvent pas être transposés directement en mathématiques. Faire des mathématiques n'est pas établir une table de correspondance entre des concepts de philosophie et des codes mnémotechniques, prétendument secrets. Nous sommes en présence de deux réalités reflétant l’histoire vivante en train de façonner la science. S’il peut y avoir une source d’inspiration commune sur le plan global de la théorie de la connaissance, il y a une rupture méthodologique entre mathématique et philosophie.

6. Conclusion. A mon avis, loin de toute idéologie, de toute appartenance politique, l'université Cheikh Anta Diop de Dakar devrait créer une formation doctorale en Mathématiques du développement pour inscrire les travaux du président Wade dans un cursus académique. Cette formation doctorale basée au Sénégal doit avoir pour ambition de former tous les fils du continent passionnés par la recherche en mathématiques et en même temps soucieux d'éradiquer la pauvreté en Afrique. Nous devons corriger l'erreur historique consistant à déporter les étudiants africains hors du continent africain. L'expertise mathématique internationale doit exercer en Afrique pour préserver la jeunesse de toutes formes d'aliénation. Former un nouvel humanisme pétri d'érudition mathématique ou philosophique et de vertu. Quant au prix Math-Senghor, il faut étendre cette initiative aux Africains de plus quarante ans en créant un deuxième prix mathématique pour une tranche d'âges illimitée.

7. Notes bibliographiques.

1. Un premier compte rendu de ce congrès fut rendu par le professeur Hogbe Nlend dans la revue françaiseGazette des mathématiciens, n°7 octobre 1976. L'Académicien J. Leray du Collège de France fit une synthèse de ce congrès. Son compte rendu fut également publié dans Gazette des mathématiciens, n°8, février 1977.
2. Le concept kabidiale est concu à partir de la langue luba-kasayi, et veut dire "aussi". Nous lui donnons le sens total de "nous aussi", "beto mpe" en kikongo, "biso pe" en lingala, au sens d'un saut inaugural. Pour toute discussion voir, O. Bimwenyi Kweshi, Discours théologique négroafricain, Présence Africaine, Paris, 1981, p. 257.
3. Ce n'est pas l'avis de Pathé Diagne, dans son ouvrage, L.S. SEnghor ou la Négritude servante de la francophonie et le festival panafricain d'Alger, Dakar, Editions Sankoré, 2002. Il critique Senghor, la négritude et le festival des arts nègres. L'impression première, la négritude est une affaire sénégalo-sénégalaise. Tout non-Sénégalais qui s'y frotte s'y pique. La négritude , c'est l'histoire intime du Sénégal. Pour critiquer une doctrine scientifique ou littéraire, il faut adopter un style où respire l'abstraction scientifique, l'impartialité. Le titre de l'ouvrage de Pathé Diagne ne correspond pas à son contenu. Nous proposons les titres suivants :
- Histoire de la négritude selon Senghor ;
- L'épistémologie de la négritude ; dans ce sens où l'épistémologie restitue à la négritude "son histoire en démontant les mécanismes congnitifs qui mettent le système nerveux humain en rapport avec son milieu (voir M'Boka Kiese, Hommage à Cheikh Anta Diop, p. 128) ;
- Histoire intellectuelle du Sénégal sous le règne de L.S. Senghor ;
- La négritude ou l'histoire du Sénégal contemporain ;
Mais le deuxième titre est le plus approprié à condition d'une reécriture de l'ouvrage, en transcendant la subjectivité du style et du langage. Le chapitre " Rencontre avec Senghor le poète député" (p. 195-225) est illisible.
4. Voir, M'Boka Kiese, La mathématique est une science humaine, sur ce site.
5. Union Mathématique Africaine, Actes du Premier Congrès Pan-Africain des Mathématiciens, Janvier 1977, page 5.
6. Léopold Sédar Senghor, " Pour une idéologie de la négritude ", Présence africaine, n°82, 1972, p. 38.
7. UMA-H. Hogbe-Nlend, Mathématiques et développement de l’Afrique, Yaoundé, 1977, p. 7-8.
8. La lutte de classes doit être appréhendée non pas dans un sens marxiste. La lutte est selon nous consubstantielle à l'inauguralité. Nous avons énoncé dix phénomènes fondamentaux régissant l'inauguralité. Le septième se présente de la sorte : "[...] L'inauguralité commence par une démarcation irréversible vis-à-vis des paradigmes dominants. Mais cette démarcation n'est possible qu'au terme de la découverte des principes fondamentaux d'exclusion et/ou d'inclusion, de coopération et/ou de concurrence qui régissent l'activité scientifique" (Mboka Kiese, in La renaissance africaine et sa prospective, Paris, Paari, 2001, p. 141).
9. M’Boka Kiese, " La question de l’émancipation africaine ", Paris, Nouvelles Congolaises, n°36/37, 2003.
10. M’Boka Kiese, " Phénoménologie de l’inauguralité : l’épistémologie de Cheikh Anta Diop et les Mathématiques ", in Hommage à Cheikh Anta Diop, Paris, éditions Paari, 2004.
11. Paul Foulquié, La dialectique, Paris, PUF, 1976, p. 92.

Nous remercions les professeurs Sékou Traoré et Mizère Dominique. Tous les deux avaient mis à notre disposition les documents publiés sur ce site relatifs à l'Union mathématique africaine lors de notre séjour au Congo-Brazzaville en 1985 et pendant la visite du département de mathématiques de l'université de Brazzaville.

13 juillet 2008

[African-Scientific-Network] Reminder : Call for Application to the 4th COPROMAPH International School

Dear Colleagues,

Dear Professor,

Dear PhD students,

This is to remind you of the upcoming 4th COPROMAPH International School on "Group Theory, Representations and Mathematical Foundations of Quantum Field Theory and Statistical Physics", to be held at Cotonou in Benin, October 25^th – November 7th, 2008. You are invited to sent your Application  as soon as possible, which you may receive upon request.

We are looking forward for the exciting 4th COPROMAPH International School and hope to see you there.

Dr Ezinvi Baloïtcha

International Chair in Mathematical Physics and Application (ICMPA - UNESCO CHAIR)

072 BP 50 Cotonou, Rep. of Benin

Email: ezinvi_baloitcha@ cipma.net

13 avril 2008

Théorie de Modes

1.Remarques générales. En 1995, j'étais membre de l' Association For Symbolic Logic, une société savante basée aux Etats -Unis regroupant presque tous les Logiciens du monde entier. J'étais invité à participer au 1995–1996 WINTER MEETING OF THE ASSOCIATION FOR SYMBOLIC LOGIC, Orlando, Florida, January 12-13, 1996. J'avais obtenu de mes supérieurs hiérarchiques l'autorisation de me rendre à ce congrès. Cependant j'avais oublié de me procurer un visa au consulat des Etats-Unis à Paris. Je fus refoulé à l'aéroport de Roissy Charles de Gaulle. J'étais confus et malheureux. J'avais raté mon congrès. Mon article fut tout de même publié dans la revue américaine, The Bulletin of Symbolic Logic (vol. 4, n° 4, December 1998, p. 440-441), sous le titre Modèles Chaotiques. Dans notre article, Le calcul des préjugés, nous avons corrigé le concept de chaos. Nous proposons Théorie des Modes au lieu de Modèles chaotiques.
La version de notre article "Modèles chaotiques" en ligne sur le site de l'Association For Symbolic Logic porte des erreurs ainsi que celle imprimée sur papier. Nous  reproduisons cet article en corrigeant les coquilles, les erreurs, en réparant les formules mathématiques omises en 1998 par l'éditeur de la revue. Cependant nous n'avons pas encore résolu la question de la représentation des nouvelles polices mathématiques de la Théorie des Modes dans Unicode afin qu'elles apparaissent sur l'écran de l'internaute.   

2. Théorie des Modes. La théorie de la cohérence développée dans le cadre du Cercle de Vienne par R. Carnap et O. Neurath, dans leur palabre avec M. Schlick, postule que la vérité repose sur une concordance entre des propositions au sein d’un système formel donné. Une théorie est syntaxiquement cohérente, si une proposition n’y est pas déduite en même temps que sa négation. Si non elle perturbe sa cohérence interne. Avec la création de la théorie des modèles depuis le théorème de Lowenheim-Skolem, la notion de vérité est relativisée. La vérite d’une proposition est consubstantielle à un modèle. Une proposition p := 2 + 2 = 1 est dite fausse, par rapport à q := 2 + 2 = 4 qui est vraie dans l’algèbre {N, +} et les axiomes de l’addition. Par contre si nous restreignons cette algèbre à l’ensemble des classes d’entiers modulo 3 et que nous construisons sa table d’addition, alors dans ce cas p est vraie dans ce nouveau modèle. Grâce au théorème de Lowenheim, selon lequel toute théorie d’un langage au plus dénombrable qui admet un modèle infini, accepte un modèle dénombrable, Skolem découvrit un concept de vérite lié à l’existence des modèles non standard. La non-contradiction n’est pas exclusive  à la logique classique. Elle est immanente au Calcul des préjugés. Il y a cependant un conflit d’interprétation et de représentation de la proposition entre la pensée classique et la pensée du désordre. La proposition préjudicative, appelée ngana, est une actualisation de la proposition stöicienne, qui elle, est différente de la proposition aristotélicienne. Un ngana q qui est pour un autre ngana p, s’écrit : pMqM ; quand q est contre p, on note: pNqM. Pour nier un ngana p, nous n’introduisons pas la particule de négation non p. Cette logique du pour et du contre entre p et q laisse une troisième possibilité r tel que par exemple, pNqM se définisse comme pMrM p qNrM. La contradiction dans le Calcul des préjugés se représente par, pNpM qui est une conséquence de, pMrM p pNrM. L’idée d’une complétude dans le Calcul des préjugés qui s’en dégage est la suivante :
- Sur un plan syntaxique, un ngana p est déconstructible, on écrit  Xp si jqNqM;
- Sur un plan sémantique, la vérité d’un système formel, n’est pas inséparable d’un modèle : elle est désormais consubstantielle à un modèle, ayant son langage propre.
Si l’on considère la théorie des ensembles selon Z.F. comme un univers, nous voulons que tout modèle de l’univers ne fasse pas partie de lui, cela va de soi, mais émigre d’un alterunivers. Plus techniquement nous voulons que tout modèle de la théorie des ensembles selon Z.F. ne soit pas bâti sur le même langage que celui de la théorie des ensembles selon Z.F. Ce que nous voulons, c’est une rupture du langage de base des théories.

Mode  d’un langage. Une L-conjoncture K, une mode  K := (D, D' , F, R) est composé :
- d’un univers D et d’un alterunivers D, appelés domaines concurrents tel que D est écarté de D' ;
− F est la collection des symboles dysfonctionnels sur la percussion d’univers D et D' de K;
−R, la collection des syndicats sur la percussion d’univers D et D' de K;
Quand R n’y figure pas, K := (D, D' , F ) est appelé une Percussion.

Mode d’un ngana. Soient aNx, y, z,M et aMx, y, zM des ngana d’un langage L et K est une mode ; les traductions de aN x, y, z, ,,M et aMx, y, zM, dans K notées, a^K sont par définition: {b, c, d, ...} des éléments de D' :
−K X aNx, y, z, ,,M ) aM b, c, d,,,M;
−K X aM x, y, z, ,,M ) aN b, c, d,,M;
Les notations K X aN x, y, z, ,,M et K X aM x, y, z, ,,M signifient que les formules a sont déconstructibles dans K quand on remplace: i) x, y, z des éléments de D par b, c, d, qui sont des éléments de D', un alterunivers de K;

Enoncé préjucatif. aM b, c, d, ,,M, aN b,c, d,,,M sont appelés des énoncés préjudicatifs. Il est indifférent de lire K X aMb, c, d,,,M et K X aNb, c, dM par K est une mode de a ou a est à la Mode K ou K déconstruit a.
Conjonction. K X p { p’ ) K X p et K X p’ jq jq’ , q et q’ dans D' tel que pNqM et p’NqM.
Implication. K X p ) p’ cela implique, K X p ) K X p’ , c’est-à-dire, jq jq’ , q et q’ dans D' tel que pNqM ) p’NqM.
Quantificateurs. K X jy pMyN ) pNxN tel que x h D' ; K X –y qNyN ) qMxM tel que x h D' ; K X jq qNyN ) pMyM tel que y h D' ; K X –p pNxN ) qMxN tel que y h D'.

Conséquence dialectique. Dans cette notion, nous avons deux modes K et Q. Une formule jy pMyN est une conséquence dialectique de –y qNyN, en abrégé, –y qNyN e jy pMyN, si K X –y qNyN p Q X jy pMyN, c’est-à-dire, qMxM p pNxN. Nous faisons le même raisonnement pour les trois cas suivants :
–p pNxN e –y qNyN, si K X –p pNxN p Q X –y qNyN, c’est-à-dire, qMxN p qMxM;
jq qNyN e –p pNxN si K X jq qNyN p Q X –p pNxN c’est-à-dire, pMyM p qMxN;
–y qNyN e jq qNyN, si K X –y qNyN p Q X jq qNyN, c’est-à-dire, qMxM p pMyM.

12 avril 2008

Le Calcul des Préjugés

1. Introduction. Nous publions ce texte ci-dessous issu d'un exposé que nous avons présenté à L'université d'Auvergne - Clermont 1 lors du LOGIC Colloquium  94 (European Summer Meeting Of The Association For Symbolic Logic (ASL)) du 21 - 30 Juillet 1994. Le texte fut publié pour la première fois par Le Laboratoire de Logique, Algorithmique et Informatique de l'Université d'Auvergne - Clermont 1. Il fut également publié par The Bulletin of Symbolic Logic (USA), vol. 1, n°2, June 1995, p. 242-423.  Le texte a vieilli. A l'époque, nous travaillons sur le chaos, thème à la mode. Nous voulions élaborer une logique que nous avions grammatisée chaotique. Pour militer pour la logique mathématique et participer aux activités organisées dans le monde entier par l'ASL, nous avions soumis un papier sur ce thème à la revue The Bulletin of Symbolic Logic. Il fut refusé. Avec le recul du temps et les recherches accumulées, le concept de chaos me parait désuet. Il ne peut pas être rationalisé en logique mathématique, discipline des mathématiques abstraites. Il appartient aux mathématiques expérimentales. Nous restons cependant fidèle à notre thèse : On ne peut pas formaliser le concept de désordre avec les outils des mathématiques classiques ensemblistes.   Au lieu de parler de la pensée du chaos, nous militons désormais pour la pensée du désordre, elle, peut être formalisée dans le langage du Calcul des Préjugés. C'est ainsi, au lieu de parler de Logique chaotique, nous parlons désormais de Calcul des Préjugés ou d'une Logique préjudicative ou d'une Logique des Préjudicats. Les préjudicats ou les préjugés sont des propositions jugées en premier ressort. Ce ne sont pas des propositions analytiques, ni synthétiques, ni synthétiques à priori au sens kantien du terme (voir notre article, Aux origines de la logique mathématique dans http://mboka.blogonline.fr). Un préjudicat satisfait à un prémodèle. Nous maintenons le principe d'altérité. Mais sa formalisation présentée   dans le texte ci-dessous est caduque. Nous supprimons le principe de densité. Il est remplacé par le principe de duplicité. Nous supprimons le principe de mobilité. A dire vrai, la formalisation ci-dessous renvoie à un principe de contradiction. Nous remplaçons le principe de mobilité par un principe de non-contradiction. D'autres expressions ont vieilli. Au lieu de lire mathématiques chaotiques, lire désormais macchématiques à l'instar des mathématiques ensemblistes. Au lieu de lire Théorie axiomatique des espèces, lire, Théorie axiomatiques des clans. Un clan est une collection munie d'une délation ou d'une relation d'exclusion. Au lieu de lire, Greegèbres, lire, Théorie des Percussions, une extension de la théorie des Clans.  On ne peut pas représenter la nouvelle pensée mathématique formulée dans ces nouvelles théories avec les seules polices AMS-TEX. Ce problème épistémologique avait été résolu par le Suisse Ferdinand de Saussure (1857-1913) en inaugurant la sémiologie. Le problème de nouveaux signes mathématiques s'est posé pour publier dans les revues de l'ASL, notamment dans The Bulletin of Symbolic Logic. Le logiciel incorporé dans Tex par D.E.Knuth pour créer de nouveaux symboles mathématiques avait été retiré trop tôt du marché. La plupart des revues de mathématiques travaille avec Tex ou Latex et Mathematica ; plaidons, ces revues admettent  les polices autorisées par  l'American Mathematical Society. Nous n'avons pas pu incorporer les symboles du Calcul des préjugés créés dans UNICODE pour les représenter sur votre écran.

2. Le texte originel.

La Logique chaotique.
Bien qu'elles se soient appuyées sur des techniques inouïes de l'intelligence artificielle, les mathématiques, en offrant une interprétation empirico-éclectique aux phénomènes du chaos ou du désordre, restent tributaires de façon inductive, de la logique classique. Dès que l'on étudie de tels phénomènes, les principes aristotéliciens de l'identité, du tiers exclu générateurs des Structures d'ordre, deviennent caducs. Cela nécessite, par conséquent de nouvelles méthodes; un nouveau langage et surtout une nouvelle logique. La pensée du chaos soulève une question plus radicale liée au renouvellement du paradigme de la rationalité mathématique dont les injonctions sont graves. L'adoption de nouveaux principes que voici :

Le principe d'altérité. A une proposition e(c) (lire "e contre c") surgit la proposition alterne c(e) ; on écrit e(c) puis c(e) (lire, « e(c) puis c(e)») ;

Le principe de densité. A deux propositions alternes e(c) et c(e), on peut trouver une tierce proposition h qui est l'objet de l' altérité telle que [e, c] (h) [c,e] (lire, '"e, c contre h et c, c pour h ") ;

Le principe de mobilité. Deux propositions sont en mouvement e(c) et (e )c (lire"c pour e ") ou forment une controverse quand elles s'opposent de telle manière que la proposition alterne de e(c) dénie la propriété exprimée par (e)c ; on écrit e(c) pendant que (e)c (lire « e(c) pendant que (e)c »).

Grâce à ces principes, nous pouvons comprendre le déroulement des situations chaotiques au niveau logique. Nous avons élaboré une fondation des mathématiques chaotiques. La logique chaotique avec altérité est la logique interne aux mathématiques chaotiques. La théorie des modes est la sémantique de la logique chaotique. La théorie axiomatique des espèces, avec ses axiomes propres est un modèle concurrent de la théorie des ensembles selon Zermelo-Frankael. Les Greegèbres sont une extension de la théorie des espèces. Pour ce qui concerne des Espaces kundu, ce sont des espaces non topologiques où l'idée de la forme ne se confond pas avec l'idée de l'ordre. Chaque théorie fondationnelle est une méthode conduisant vers la compréhension du chaos. Ces cinq théories s'interpénètrent comme les cinq doigts de la main, au point dle former une quintessence pour les "mathématiques à venir".

3. Le texte corrigé.

Le Calcul des Préjugés.
Bien qu'elles se soient appuyées sur des techniques inouïes de l'intelligence artificielle, les mathématiques, en offrant une interprétation empirico-éclectique aux phénomènes du désordre, restent tributaires de façon inductive, de la logique classique. Dès que l'on étudie de tels phénomènes, les principes aristotéliciens de l'identité, du tiers exclu générateurs des Structures d'ordre, deviennent caducs. Cela nécessite, par conséquent de nouvelles méthodes; un nouveau langage et surtout une nouvelle logique. La pensée du désordre soulève une question plus radicale liée au renouvellement du paradigme de la rationalité mathématique dont les injonctions sont graves. L'adoption de nouveaux principes que voici :

Le principe d'altérité. cNeM p cMbM. A une proposition "e contre c" surgit la proposition « b pour c » ;

Le principe de duplicité. cNeMp hMeM. A une proposition " e contre c" surgit la proposition " e pour h" ;

Le principe de non-contradiction. La contradiction est exclue des mathématiques. Les propositions suivantes hNeMp hMeM et eNcMp eMcM sont contradictoires.   

Grâce à ces principes, nous pouvons comprendre le déroulement des situations désordonnées au niveau logique. Nous avons élaboré une fondation des macchématiques. Le Calcul des préjugés avec altérité est la logique interne aux macchématiques. La théorie des modes est la sémantique du Calcul des préjugés. La théorie axiomatique des Clans, avec ses axiomes propres est un modèle concurrent de la théorie des ensembles selon Zermelo-Frankael. Les Percussions sont une extension de la théorie des Clans. Pour ce qui concerne des Espaces macchémologiques, ce sont des espaces non topologiques où l'idée de la forme ne se confond pas avec l'idée de l'ordre. Chaque théorie fondationnelle est une méthode conduisant vers la compréhension du désordre. Ces cinq théories s'interpénètrent comme les cinq doigts de la main, au point de former une quintessence pour les "mathématiques à venir".

11 février 2008

L'Axiome de Compréhension

Remarques générales. Cet article avait été publié pour la première fois dans la revue de la Fondation Léopold Sédar Senghor, Ethiopiques (2e trimestre 1987 - volume IV, N°1.2) comme une contribution à l'hommage que le Président avait rendu à Cheikh Anta Diop disparu en 1986. Cette publication avait été précédée d'une rencontre fortuite avec le Président  accompagné de sa femme à Paris Gare Saint-Lazare le 30 août 1986. Une série de correspondances de courtoisie avait été entretenue entre le Président et moi. Le Président Léopold Sédar Senghor en 1987 et l'écrivain camerounais Mongo Beti en 1988 ont été mes premiers éditeurs. La version de notre article en ligne sur le site d'Ethiopiques porte des erreurs ainsi que celle imprimée sur papier. Nous  reproduisons cet article en corrigeant les coquilles, les erreurs, en réparant les formules mathématiques omises en 1987 par l'imprimeur de la revue à Dakar. 

« ... pour rythmer ton nom grand sur les eaux
sur les fleuves sur toute la mémoire Que j’émeuve la voix des kôras Kouyaté !
L’encre du scribe est sans mémoire ». (L.S.Senghor)

Un commentaire sur les fondements des mathématiques d’après l’introduction de Cheikh Anta Diop (suite de la première partie)

RESUME : Nous examinerons dans ces derniers chapitres l’origine de quelques antinomies et le statut de l’axiome de compréhension.
ABSTRACT : In these last chapters we investigate the origin of some antinomies and the state of the axiom of comprehension.
Auteur : Mboka KIESE

PROLEGOMENES

Ces chapitres font suite à un texte contenant cinq chapitres A, B, C, D, et E(E1) qui paraît aux éditions Présence Africaine [1].
Dans ce premier travail, nous avons commenté les balbutiements de la théorie des ensembles tant au niveau de certains axiomes, qu’au niveau du langage. La crise qui s’en était suivie à l’instar des paradoxes fit, l’échec du programme de Hilbert. Ce dernier voulut démontrer la cohérence des mathématiques sans l’aide de l’infini. Le théorème d’incomplétude de Gödel qui déclencha cette seconde crise fit une découverte savante. Il consolida le statut mathématique de la logique. Selon Cheikh Anta Diop, 1982, (p.190), les résultats de ce théorème furent équivalents à ceux qu’obtint Heisenberg en Physique Quantique à travers les relations d’incertitude.
On reste «écrasé », si en lisant le tableau synoptique de la logique classique présenté en appendice on est bourbachique inconditionnel, de l’évolution considérable de cette science.
Deux grandes idées se mêlent :
- L’idée de Frege et de Russell selon laquelle la logique sert de fondement aux mathématiques. Cette idée fut contestée à la fois par les intuitionistes et les formalistes dans sa forme et non dans le fond. Largeault, 1972 (p. 139), Epistémologicien en Sorbonne, est ému du silence conspiré contre le Norvégien A. Thoralf Skolem (1887-1963) par la communauté mathématique. Skolem apporta une contribution non des moindres à l’axiomatisation de la théorie des ensembles. Il fut le premier à découvrir les modèles non standard en arithmétique, dont Abraham Robinson fit une extension remarquable en calcul infinitésimal. Il eût été légitime en effet, que l’on rajouta aux initiales Z.F. (Zermelo-Fraenkel) le symbole S, mis pour Skolem.  Les mathématiciens ont toujours combattu à cor et à cri, l’idée que d’autres sciences leur servent de fondations. 
- L’autre aspect représenté par l’Anglais Georges Boole (1815-1864) - autodidacte en mathématiques (les algèbres qui portent son nom, sont la base même de l’électronique), l’Américain Charles Peirce (1839-1914) et l’Allemand Schroeder (1841-1902) : la logique fut développée par des méthodes algébriques. Cette méthode facilite l’économie de la pensée, évite la redondance dans le sens leibnizien que voici :
« Ce qu’il faut, quand on raisonne, c’est avoir sous les yeux quelque chose qui concrétise la pensée, qui la stabilise, qui la peigne. L’algèbre est, à cet égard, un instrument de premier ordre » [2].
Dans ces deux aspects, la logique pure essaie de reécrire dans des structures plus stables et plus générales certaines branches isomorphes des mathématiques.

INTRODUCTION

Cheikh Anta Diop n’a pas eu tort de suspecter « la notion naïve et contradictoire, actuelle de l’infini... Elle est impliquée directement ou indirectement dans la quasi-totalité des paradoxes mathématiques » [3]. Un traitement historique et détaillé des antinomies existe dans E.V. Beth, 1955 (p. 175-198).
Mais pour comprendre l’origine des antinomies, il faut d’abord connaître les notions de relation, de classe et d’ensemble au sens de von Neumann-Bernays-Gödel dans la théorie des classes. Si dans cette théorie Mostowski, 1978 (p.23) fait remarquer que la classe, la relation et l’ensemble sont des données primitives, cela ne nous aide pas à saisir la nuance existant entre une classe et un ensemble ; le système de Frege exposé dans Grundlagen der Arithmetik dès 1884 nous paraît le mieux approprié [4].
L’axiome de compréhension exprimé primitivement en 1908 par Zermelo, conduisit à des paradoxes. La modification qu’il en fit donna l’axiome de séparation.
Nous montrons comment, partant de cet axiome Fraenkel et Skolem, indépendamment l’un de l’autre, construisirent le schéma d’axiome de substitution ou de remplacement.

E2 - Relation - Classe - Ensemble en partant du langage de Frege

E2-1 - Tableau comparatif des divers systèmes qui sous­tendent les mathématiques classiques.

Chez Frege, l’énoncé des données primitives est hiérarchisé, comme dans la théorie des types. En premier lieu, il y a des objets, puis des concepts enfin des extensions de concepts.
Au lieu de définir d’emblée chaque primitive, nous procédons d’abord par situer leur position dans le tableau ci-dessous.

(i2) Définition de la classe A (X)

Une classe est un rapport, mieux une relation binaire (au sens intuitif) entre un individu x et une relation monaire A.
C’est une situation pendant laquelle, l’individu x satisfait la relation monaire A. Cette situation est donc vraie : A est un « modèle » de x. Tel est le sens précis de l’expression frégéenne : « x tombe sous le concept A ».

Remarque : L’idée qu’une classe soit une relation fonde la théorie des classes NBG.

« Classes represent at the same time relations between sets, namely a class A represents the relation which subsits x and y if the ordered pair (x,  y) ... is an element of A » (Gödel, 1940, page 2, introduction).
D’où l’axiome de la ∈ - relation du groupe B1 : ∃A (x, y) [ (x, y) ∈ A ≡ x ∈ y] (Gödel, 1940, p.5).
L’imbroglio réside au fait qu’on ne sait pas exactement si c’est la classe et l’ensemble qui précèdent la relation ou l’inverse. De plus la définition d’une paire ordonnée < x y > présuppose l’existence d’un ensemble à deux éléments muni d’une relation d’ordre. En fait d’imbroglio, il y a lieu de parler de cercle vicieux.
(i4) L’interprétation que Mostowski, 1978 (p. 23) donne à la définition d’une classe est une transition satis­faisante entre le système de Frege et celui de NBG :
« Ils [5] employèrent des fonctions propositionnelles (c’est-à-dire des fonctions à deux valeurs : « le vrai » et « le faux » ) qu’il est d’usage d’appeler plutôt « classes ».
L’introduction des valeurs de vérité n’a de sens que si on adopte la démarche logique de Frege. Notre tableau qui s’en inspire, montre comment la notion de classe se déduit de celle de prédicat.

(i4) Définition d’un ensemble. Une classe A (x) devient un ensemble, si l’on fait l’inventaire, l’énumération de tous les :
- individus qui satisfont la relation monaire A ;
- objets qui tombent sous le concept A.

( i 4-1) Ensemble vide. La définition que les Rubin, 1963 (p. XVII) donnent à l’individu est très proche de l’axiome de définition de l’ensemble vide (voir Pabion, 1976 (chapitre V - la théorie des défini­tions) ) ;
« If x is an individual then ∀y [¬ (y ∈ x) ](An individual does not contain any elements) ».
On peut remarquer le caractère imprédicatif (voir chapitre E3) d’une telle définition. Zermelo parle d’élément primitif. Selon Beth, 1955 (p. 142) qui interprète Zermelo, « un tel élément primitif ne contient aucun élément sans toutefois s’identifier à l’ensemble vide ».
Dans notre tableau comparatif, la définition d’un ensemble vide qui en découle est la suivante :
Un prédicat unaire est un ensemble vide si aucun objet ne tombe sous sa domination.
En prenant P(x) ≡ x ≠ x (l’élément x satisfait le concept P « non identique à soi-même ») nous avons une autre définitionde l’ensemble vide : Ø = {x/x ≠ x}. Or cette définition est celle que Frege utilise pour définir le nombre 0 :
« 0 est le nombre qui appartient au concept (non identique à soi-même ». (Pieters, 1981, p. 30).

(i+2) Autre définition d’un ensemble

Extension du concept C : extension des objets auxquels s’appliquent ce concept C. k est un objet de l’extension C(x).
On est plus armé de comprendre l’ordre d’énonciation des axiomes de la théorie des classes NBG et l’axiome central suivant ;
Groupe A :
1 - Cl(x) : chaque ensemble est une classe.
Sens méta-frégéen : Chaque ensemble tombe sous le concept « est une classe ». Si l’on examine l’extension (au sens intuitif) du concept « est une classe », on trouve des objets qui ne sont pas des ensembles : ce sont les classes propres. En voici quelques-unes.
- Classe de tous les ensembles :
Univers V de Quine. soit R le concept « identique à soi-même », soit x un objet tombant sous R, R(x),l’extension du concept R n’est autre que V et se définit par : V ={ x/x = x} .

- Classe de tous les ordinaux, ON.
- Classe de tous les cardinaux, Cn.
- Classe d’équivalence.

Exercice n° 1 : Démontrer que la classe d’équiva­lence n’est pas un ensemble.

E3 - Totalité - Imprédicativité - Paradoxes
E3-1 - L’axiome de compréhension et l’antinomie de Russell
L’un des paradoxes le plus connu, le paradoxe de Russell, illustre bien l’existence des classes qui ne sont pas des ensembles. Prenons le « principe de compréhension » :
(I) ∃E∀A (A ∈ E ⇔ F(A)), A est libre dans F.
Il existe un ensemble E, dont les éléments sont exactement tous les éléments A de E pour lesquels F(A) est vraie. Pour contredire ce principe, prenons F(A) ≡ ¬ (A ∈ A), la propriété définissant cet ensemble E ; l’énoncé (I) devient :
(II) ∃E ∀ A (A ∈ E ⇔ ¬ (A ∈ A) ).
En remplaçant dans (II) E (qui existe de droit) par un ensemble qui existe de fait ; soit X, nous obtenons :
(III) ∀ A (A ∈ X ⇔ ¬ (A ∈ A) ).
C’est ici qu’intervient l’astuce de la contradiction. Le fait de poser le quantificateur universel ∀ devant A, on délimite son champ d’action et, un autre ensemble comme X peut aussi tomber sous son contrôle. Il nous est par conséquent indifférent de substituer X pour A dans (III).
Ce qui donne :
(IV) X ∈ X ⇔ ¬ (X ∈ X).
D’où le paradoxe de Russell, en vertu du principe de la non contradiction qui n’admet pas qu’une proposition soit équivalente à sa négation. L’hypothèse qu’il existe un ensemble défini par la propriété ¬ (A ∈ A) conduit à une contradiction [6].
On dit que l’on est en présence une définition non prédicative, c’est-à­-dire : l’objet à définir, ici E remplacé par X est utilisé dans la définition de la propriété F (qui en principe doit définir E) « en tant qu’élément possible du domaine de variation d’un quantificateur universel » : (Heinzmann, 1985, p. 38).
(V) ∃ E ∀ A (A ∈ E ⇔ F(A) ).
Totalité universelle
infini actuel
Selon Poincaré : « C’est à la croyance à l’existence de l’infini actuel qui a donné naissance à ces définitions non prédicatives ». (Heinzmann, 1985, p. 34).
Pour éviter cette antinomie, on procède comme Zermelo par l’axiome de séparation [7].
(VI) ∀ Y ∃E ∀ A (A ∈ E ⇔ (A ∈ Y et F(A))).
Au lieu de comprimer directement dans l’ensemble E les éléments A satisfaisant la propriété F,
E = {A ; F(A) } (c.à.d. pour tout A de E, F(A) est vrai).
Cela aboutit à des contradictions [8]. On plonge d’abord ces éléments dans un ensemble Y,  A ∈ Y et F(A). Pour les identifier des éléments ne satisfaisant pas F, soit A ∈  Y et ¬ F(A). On les sépare (d’où axiome de séparation) et on les stocke ensuite dans E, partie liée de Y : E = {A ∈ Y et F(A) }. Si on remplace F(A) dans (VI) par ¬(X ∈ X), l’antinomie de Russell disparaît
(VII)¬(X ∈ X) ⇔ X ∈ Y et (X ∈ X).
Cependant le caractère imprédi­catif de l’axiome de séparation n’a pas disparu. E reste un candidat potentiel parmi les valeurs possibles de A dans (VI).

E3-2 - La matrice de l’antinomie. Outre le paradoxe qui porte son nom, Russell dès 1905 rechercha une méthode plus globale d’où jaillirait l’explication de toutes les antinomies : la matrice de l’antinomie (sic). Il généralisa alors l’axiome de compréhension [9]. Etant donné une propriété p et fonction f telles que Si p caractérise tous les membres d’un ensemble U, ∀ x (x ∈ U ⇒ p(x)), f(U) existe toujours, prend la propriété p, p(f(U)) et n’est pas membre de U, ¬(f(U) ∈ U)
Alors la supposition qu’il y a une classe W de tous les termes ayant la propriété p, ∃W ∀Y (p(y) ⇔ y ∈ W) conduit à la conclusion que f(W) possède et ne possède pas la propriété p. en abrégé :
∀ U [∀ x (x ∈ U ⇒ [p(f(U)) et ¬(f(U) ∈ U) ]] ⇒ [ ∃W ∀ Y ( p(y) ⇔ y ∈ W) ⇒ ∃W [p(f(W)) et ¬(p(f(W))]].
Cela est contradictoire !

E3-3 . Paradoxe de Burali-Forti. Ainsi en prenant p(x) pour « x est un ordinal » ou ON(x) et f(U) pour le successeur de U, soit S(U), nous retrouvons le paradoxe de Burali-­Forti relatif à l’ensemble de tous les ordinaux.
∀U [ ∀x (x ∈ U ⇒ ON(x))] ⇒ [ON(S(U)) et ¬(S(U))] ⇔ [∃W ∀y (ON(y) ⇔ y ∈ W) ⇒ ∃W [ON(S(W) et ¬(ON(S(W)))]].
L’ensemble de tous les ordinaux, ici W a un nombre ordinal S(W) supérieur à celui du plus grand nombre ordinal figurant dans l’ensemble de tous les nombres ordinaux. Cela est contradictoire !

E3-4 . Paradoxe de Cantor. Avec la matrice des antinomies, on génère le paradoxe de Cantor relatif à l’ensemble des ensembles. En prenant p(x) = E(x) (lire :" x est un ensemble"), l’opération f(x) pour P(x) (ensemble des parties de x), nous avons :
∀U [∀ x (x ∈ U ⇒ E(x) ) ⇒ [E(P(U)) et ¬(P(u) ∈ U)] ⇒  [∃ W ∀ y [E(y) ⇔ y ∈ W] ⇒ ∃W [E(P(W)) et ¬(E(P(W)) ]].
L’ensemble des parties de l’ensemble de tous les ensembles P(W), est un ensemble E(P(W)), donc est contenu dans E.

Exercice n° 2 : Générer à partir de la matrice de l’antinomie, le paradoxe de Russell.

Mais comment de l’axiome de compréhension l’on est passé au schéma d’axiome de substitution (ou de remplacement) ?

E4 . Le schéma d’axiome de remplacement

E4-1 - Les lacunes dans la théorie des ensembles de Zermelo. Mirimanoff, 1917 (p. 38) savait, à la suite des travaux de Burali-Forti et Russell sur les antinomies que l’existence de certains éléments n’enraîne pas ipso-facto celle de leur ensemble. Il médita sur les véritables conditions de l’existence d’un ensemble d’individus. Les ensembles qui firent l’objet d’investigation chez Mirimanoff, furent des sous-ensembles dont J. Köning cherchait à construire en vain par diverses associations : à partir seulement de l’intuition d’un ensemble ; des ensembles qui contiennent des éléments simples (noyaux) et/ou des éléments qui sont leur tour des ensembles, soit E = {a, A} ; a est un élément-noyau ou élément primitif. A est un élément-ensemble, décomposable à son tour comme E.
Pour mener à bien son travail Mirimanoff fut obligé d’introduire deux notions : celle de descente et celle isomorphie d’ensembles. La descente est une suite d’éléments-ensembles s’emboîtant les uns dans les autres, qui converge vers des éléments indécomposables appelés noyaux. Un ensemble construit grâce à une telle descente finie est un ensemble ordinaire. Si la descente est infinie, l’ensemble obtenu est extraordinaire.
Sa notion d’isomorphisme correspond dans le langage moderne à la notion classique d’équipotence utilisée dans la genèse du théorème de Cantor-Berstein (ou théorème d’équivalence). Lequel théorème est très utile pour la construction des ordinaux et des cardinaux. Or la première version de la théorie des ensembles selon Zermelo publiée en 1908 [10] contenait trois lacunes :

1. L’axiome de l’infini ne garantit que l’existence d’ensembles dénombrables tels que w ; mais ignore la descente transfinie, objet de prédilection de Cantor, du type : {w, f(w), f(f(w)), f(f(f(w)))....} ; w étant l’ensemble des entiers naturels. f, une fonction substituable tantôt à l’opération successeur, tantôt à l’opération ensemble de parties.
2. En fait de correspondance biunivoque (résultant de l’isomorphisme), les axiomes de Zermelo, ne garantissent pas si les images obte­nues par transformation ininterrompue de w forment effectivement des ordinaux.
3. Dans son axiome de compréhen­sion, Zermelo fit intervenir la notion de « phrase définie » qui ne fut pas précisée.
En outre, cette notion présupposait l’énoncé des axiomes de la théorie des ensembles et des principes de logique.
Pour palier à cette dernière lacune, Fraenkel et Skolem indépendamment l’un de l’autre, donnèrent la précision suivante :
« Une propriété est dite définie pour une théorie donnée, si elle est construite à partir, des relations primitives de cette théorie uniquement au moyen des opérations logiques élémentaires, négation, conjonction, disjonction, et quantification, toutes ces opérations pouvant être combinées et itirées un nombre quelconque fini de fois ». (Largeault, 1972, p. 139). Largeault cite Fraenkel.
Ainsi l’axiome de compréhension devient une formule partant close de la théorie des ensembles (elle-même représentée dans le langage des prédicats du 1er ordre) dont les relations primitives sont x ∈ y et x = y. (voir Skolem, 1963, p. 162).

Mais « au lieu d’un seul axiome de compréhension, c’est un schéma d’axiome que nous obtenons, dont chaque cas particulier correspond à une formule dans le langage » (Mostowski, 1978, p. 21).
« Chaque schéma étant regardé comme remplissant à lui seul une suite infinie d’axiomes » (Grzegorczyk, 1961, p.62).
Pour remédier aux deux premières lacunes, Fraenkel et Skolem (chacun travaillant pour soi) représentèrent l’axiome de substitution. L’énoncé que nous présentons est une traduction de Drake, 1985, p. 27).

Pour tout ensemble a, et une fonction F, l’image de tous les éléments de a par F est aussi un ensemble.
(i.e. F(y) / y ∈ a). En abrégé,
∀ x ∀ y ∀ z (F(x,y) et F (x,z) ⇒ y = z) ⇒ ∀ a ∃b ∀ z (z ∈ b ⇔ ∃u (u ∈a et F(u, z))).

E4-2 - Commentaires sur l’axiome de compréhension

E4-2-1 - Par rapport à la théorie des classes
La première partie de l’axiome, ∀ x ∀ y ∀ z (F(x,y) et F(x,z) ⇒ y = z), donne la définition d’une classe F qui est une opération. Selon Mostowski, 1978 (p.23) qui cite Heijenoort, dans la théorie des classes de von Neumann (sans Bernays - Gödel) la notion primitive fut celle d’opération. Bernays et Gödel donnèrent une version dans laquelle cette notion fut déduite de celle de fonction propositionnelle.
La deuxième partie de l’axiome dit que l’intersection (au sens intuitif) entre une classe F(u, z) et un ensemble a est également un ensemble, soit b.

E4-2-2 - Commentaires généraux. Il faut rappeler ici, que les éléments du langage composant l’axiome de remplacement tels que le prédicat et la fonction furent déjà présents dans la matrice des antinomies de Bertrand Russel.
Que l’on exprime au second ordre [11] l’axiome de substitution :

[∀ X ∀ w [ (∀ x ∈ w) ∃!Y  X(x,y) ] ⇒ ∃z ∀u[u ∈ z ⇔ ∃t [ t ∈ w et X(t,u) ]]],

« il y a un ensemble z dont les éléments sont exactement les images par la relation fonctionnelle des éléments de z qui sont dans le domaine de la relation fonctionnelle ». (Gauthier, 1976,  p. 32) ; ou au premier ordre à la manière de Drake cet axiome garde son intuition de départ. Il n’affirme pas l’existence d’un ensemble précis mais plutôt la « possibilité de » fabriquer (sélectionner) dans un ensemble donné des sous-ensembles à l’aide d’une propriété définie logiquement et axiomatiquement.
C’est Bernays et Fraenkel 1958 (cité par Kleene, 1971, p. 197) qui dénotent l’axiome de compréhension par axiome des sous-ensembles d’un ensemble donné. Cette influence vient des travaux de Zermelo. Dans la première formulation, Zermelo appelle l’axiome de compréhension par son vrai nom :
Postulat de triage (voir Beth 1955 p. 142). La notion de triage conserve mieux l’intuition du principe de tiers-exclu que ne le fait le concept de compréhension.

ABREVIATIONS

CAD : Cheikh Anta Diop.
éd. : édition.
Ens. Math. : Enseignement mathématique.
G.N.V. : Gauthier Villan E. Nauwelaerts.
NBG : von Neumann Bernays Gödel.
NDJFL : Notre Dame Journal of Formal Logic.
n. : numéro.
p. : page.
PUF : Presses universitaires de France.
t. : tome.
vol. : volume.
Z.F. : Zermelo-Fraenkel.

Nous remercions vivement M. et Mme SENGHOR lesquels, par une heureuse rencontre, nous ont fait honneur de figurer parmi les élus qui rendent hommage au Savant Africain.

Mboka KIESE
B.P. 1519 - 78205 Mantes - FRANCE

[1] Un commentaire sur les Fondements des mathématiques d’après l’introduction de Cheikh Anta Diop. (Première partie), par Mboka Kiese. A paraître aux éditions Présence Africaine.

[2] A. Cresson, 1958, (p.16).

[3] CAD, 1982 (p. 462).

[4] Voir l’exposé de Pieters, 1981, (p. 23-32).

[5] Ils, mis pour Bernays et Gödel.

Dans une bonne théorie des ensembles, on ne peut pas admettre l'existence d'un ensemble dont les éléments soient exactement les objets qui ne sont pas éléments d'eux-mêmes" (J.M. Exbrayat, 1971 et autres (p. 11).

[6] Voir Hao Wang, 1953 (p. 15-18) ou Beth. 1955 (p. 142-143).

[7] Abraham Adolf Fraenkel est né en Allemagne en 1891 et mort en Israël en 1965.

[8] L’idée de compréhension ne renferme pas de contradiction en soi. C’est le fait d’accepter d’emblée que, la condition selon laquelle des éléments A ayant été caractérisés par une, certaine propriété F, une telle condition est suffisante pour fonder un ensemble, qui rend contradictoire ; "Dans le cas où cette propriété serait possédée par l'ensemble lui-même, il en resulterait qu'il serait élément de lui-même" (Michel Combes, Fondements des mathématiques, Paris, PUF, 1971, p. 10). Cela contredit l'axiome de fondation.

[9] Nous suivons l’idée générale exposée par Vuillemin, 1964 (p. 59). Vuillemin cite Russell.

[10] Voir Hao Wang, 1953 (p.15-18) ou Beth, 1955 (p.142-143)

Abraham Adolf Fraenkel est né en Allemagne en 1891 et mort en Israël en 1965.

[11] Dans le langage des prédicats du premier ordre, les quantificateurs couvrent des variables individuelles. Par contre dans le second ordre, les quantificateurs portent aussi sur des prédicats et fonctions. C’est le cas ici du prédicat « grand X.. et de la variable individuelle « petit x.

BIBLIOGRAPHIE CITEE

ANTA DIOP, Cheikh :
- 1981, Civilisation ou Barbarie, Ed. Présence Africaine, Paris.
- 1982, Conclusion du colloque Philosophie Science et Religion. Les crises majeures de la philosophie contemporaine. Université de Dakar (Sénégal).
BETH, E.W. : 1955, Les fondements des mathématiques, 2éme éd. G.V.N., Paris-Louvain.
CRESSON, A. : 1958, Leibniz, sa vie, son oeuvre, PUF. .
DRAKE, Edouard S.J. : 1985, How recent work in mathematical logic relates to the foundations of mathematics, p. 27-35, Mathematical intelli­gencer, vol. 7, nO 4.
EXBRAYAT et P. MAZET : 1971, Algèbre 1, Hatier.
GAUTHIER, Yvon : 1976, Fondements des mathématiques - Introduction à une philosophie constructiviste, Presses de l’Université de Montréal
GÖDEL, Kurt : 1940, The consistency of the axiom of choice and the generalized continum hypochesis, Annals of Mathematics studies 3, Princeton University Press, U.S.A.
GRZEGORCZYK, Andrzej : 1961, Fonctions ré­cursives, éd. G.V.N., Paris-Louvain.
RAO Wang et McNAUGHTON R. : 1953, Les systèmes axiomatiques de la théorie des en­sembles, éd. G.V.N., Paris-Louvain. HEINZMANN, Gerhard : 1985, Entre intuition et analyse - Poincaré et le concept de prédicativité, ed Albert Blanchard, Paris.
KLEENE, S.C. : 1971, Logique mathématique ; Armand Colin, Paris, traduit de l’Américain par Larlreault.
LARGEAULT, Jean : 1972, Logique mathéma­tique-textes, Armand Colin, Paris.
MIRIMANOFF ; D. : 1917, Remarques sur la théorie des ensembles et les antinomies canto­riennes, Ens. Math. t. 19, p. 209-217.
MOSTOWSKI, Andrzej : 1978, Les ensembles, p. 1-36 ; Dans un ouvrage collectif, la pensée scientifique - quelques concepts, démarches et méthodes, éd.. Mouton/Unesco.
PABION : 1976, Logique mathématique, Her­mann.
PIETERS, Jean : 1981, Frege et le projet des Grundlagen, p.23-42, Cahier du Centre de Logique, vol. 2, Cabay-Louvain la Neuve.
RUBIN, H. et J.E. Rubin : 1963, Equivalents of the axiom of choice, North-Holland.
SKOLEM, A. Th. : 1963, Studies on the axiom of comprehension, p.162-170, NDJFL, vol. IV, n° 3, July.
VUILLEMIN,Jules : 1964, L’origine et le méca­nisme des antinomies dans la première philo­sophie de Russell (1903), p.59-95, Logique et analyse, n°s 25-26 ; Louvain.

10 février 2008

The infancy of the Riemann Surfaces, by M'boka Kiese

Introduction. The Riemann surfaces are a compromise between the continuity and the multiformity. At the Anglo-Saxon Mathematicians, The uniformity or the univocity defines at the same moment a function and its injectivity. At the French-speaking Mathematicians, a function, better an application is injective, surjective and bijective. In the Anglo-Saxon mathematical works the terms of injection of surjection and of bijection are non-existent. The used term is " one-to-one ". At the Slavic or Russian Mathematicians, such a definition of a function is redundant. In their textbooks, they omit the definition of a surjection. If intuitively, the surjection reminds a topological border, the injection, its inside, to fill the gap, it seemed imperative to define a mathematical object corresponding to a topological outside (ku in kikongo language). As a result, the definition of a function based on the relational univocity of variables accused gaps. To surmount them, it was necessary to violate the rule of the uniformity and to open the way to the said functions multiforms, considered as collections of uniform functions. Every element of this collection becomes a branch of the multivoque function. This hard labour, stammering of the set theory, ended in the Riemann Surfaces.

1. Function. A uniform function f is by definition injective. To two different variables of departure x and y correspond to it two different variables of arrival f(x) and f(y). The Anglo-Saxon Mathematicians omit the definition of the prédicament of the injection attached to the function by the French-speaking Mathematicians. The uniformity or the univocity defines at the same moment a function and its injectivity to the Anglo-Saxon. These last ones use the expression " One-to-one ", translated into French, univoque or unambiguous. A function f is one-to-one if :
a) f(x) = f(y) a x = y ;
or
b) (x≠ y) a f(x) ≠ f(y).

Now such a formulation of the univocity returns to the definition of an injective function to the French-speaking Mathematicians.

2. Application. Historically, in a care of exactness the notion of function, vague, was replaced by the notion of application.
"A function of the variable x is not inevitably defined for all the values of the variable x" (Jacqueline Lelong-Ferrand, Les notions de mathématiques de base dans l'enseignement du second degré, Paris, Librairie Armand Colin, 1964, p. 33).

The introduction of a domain of definition more the whole departure and an image more the whole arrival clarified the movements of the variables of a function. An application, as the sending of a letter by post, implies a place of expedition and a place of destination. We cross from function to the application by plunging the functions into both sets already quoted. Let be the usual notation of the function :

f : x |→ y.

Domain of f or dom(f) := { x/$y and (x,y) ∈ f }.
Range of f or ran(f) := { y/$x and (x,y) ∈ f }. 
The axiom of replacement of the axiomatic set theory according to Zermelo-Fraenkel grants the quality of a set to the range of a set X by an application f :
f(X):= {f(x) / x ∈ X}.

To represent an application f of A in B, we write  f ⊂ A x B (read : " f is included in A cross B "); In fact, it is a function f with values in B, and the domain is A. A: = Dom(f) and  ran(f) ⊂ B.  Into is the Anglo-Saxon translation of the preposition dans (mu in kikongo language). An application f of A on B is a function f with values on B, and among which A: = Dom(f) and ran(f):= B. Onto is the Anglo-Saxon translation of the preposition sur (ga in kikongo language).

3. Surjection. Whatever y an element of arrival of a set B, there is at least an element of departure x belonging in a set of departure A. We so define an application or a function surjective. But such a definition is redundant for the Slavic or Russian Mathematicians. In their textbooks, they omit the definition of a surjection. By reminding however the uniqueness of it or of f(x), it returns to a simple définition of a function :

" We call function [...] the binary relation f if for all x, y and z there is of (x, y) ∈ f and (x, z) ∈ f that y = z " (L. Koulikov, Algèbre et Théorie des nombres, Moscou, Editions Mir, 1982, p. 51).

Otherwise told in every variable of departure corresponds a unique variable of arrival. The definition of a function implies that of its uniqueness. A function is surjective if in any variable of arrival corresponds at least a variable of departure.

4. Multiform functions. Surjection can hide multiform functions in which a variable of departure corresponds to several images of arrival. Notably, the nth roots functions, the logarithmic functions associate with any complex number several roots or several images. They are multiforms there.They are not continuous in all the set of complex numbers. How to work at the same moment on their continuity and on their uniformity ? "On grounds of state", it is necessary to sacrifice the continuity to work on the uniformity. We cannot speak about uniqueness of a collection of arrival, but about several collections of arrival because the idea of continuity of a function is questioned in that case of multiformity. To look after this handicap, we are going to consider a multiform function as a set (in the cantorien sense) of uniform functions. There are so many uniform functions as variables of arrival. Every surjection being then considered as a branch of the multiforms function. The first uniform function will be called main determination. If by leaving a point of origin placed on the main determination, we make several trigonometric tours, in being reviewed in every tour the values of every branch of the multiform function and what we fall again on the initial values of the first main function, this point of origin is called point of connection. Geometrically it is of use as reunification to the various uniform functions, considered as discontinuous leaves. But we are not at the end of the continuity. It is necessary to forbid at first the crossing from a branch to the other one, the change of connection all in all, by introducing a cut on the first main determination. Let us suppose two different points a and b, the one situated at the edge of the line of opening and the other one placed more inside this line taken away from the first one. After a notch, a divides into a' and a" and b into b' and b". We obtain four arranged different points so that a' is separated of a" and b' separated of b". Thanks to the cut, we so win in uniformity of a single branch of the multiform function. We realize a notch on the second branch which gives onto an edge two aligned points c' and d' separated respectively from two other aligned points c" of d". This cut will be realized in every respective branch so returning the separate leaves. The German Bernhard Riemann (1826-1866), student of Carl Gauss (1777-1855) in Göttingen, is going to imagine the connecting of an edge a' of the opening of the first leaf in the edge c" set by the opening of the neighboring leaf, as well as the connecting of the edge b' at the edge d". Let us say edges a" and b" are linked with edges c' and d'. We can so cross all the leaves in a continuous way, of a' in c" then of a" in b'; of b' in o, the center; then of the center in b" towards d'; then from d' to c', passing of branch in branch of the function without going round in a circle on a single leaf. The rectangular bands a"b" o d' c' and a' b' o d" c" form an intertwining. It is all these leaves that constitutes a Riemann surface.

Exercise. We ask for the representation of the geometrical figure (the Riemann surface) so described.

Text appeared also in The Letter of THE IRIAN on July 3rd, 2007.

© Bukonzo Press, Paris, 2008.

05 février 2008

Les balbutiements des surfaces de Riemann

Par M'Boka Kiese

Introduction. Les surfaces de Riemann sont un compromis entre la continuité et la multiformité. Chez les Mathématiciens anglosaxons, l'uniformité ou l'univocité définit à la fois une fonction et son injectivité. Chez les Mathématiciens francophones, une fonction, mieux une application est injective, surjective et bijective. Dans les ouvrages mathématiques anglosaxons les termes d'injection de surjection et de bijection sont inexistants. Le terme utilisé est "one-to-one". Chez les Mathématiciens slaves ou russes, une telle définition de la fonction est redondante. Dans leurs manuels, ils omettent la définition d'une surjection. Si intuitivement, la surjection rappelle une frontière topologique, l'injection, son intérieur, pour combler la lacune, il est apparu impératif de définir un objet mathématique correspondant à un extérieur topologique (ku en kikongo). Du coup, la définition d'une fonction basée sur l'univocité relationnelle des variables a accusé des lacunes. Pour les surmonter, il a fallu violer la règle de l'uniformité et ouvrir la voie aux fonctions dites multiformes, considérées comme des collections de fonctions uniformes. Chaque élément de cette collection devient une branche de la fonction multivoque. Ce travail forcé, balbutiement de la théorie des ensembles, a abouti aux Surfaces de Riemann.

1. Fonction.Une fonction uniforme f est par définition injective. A deux variables de départ distinctes x et y correspondent deux variables d’arrivée distinctes f(x) et f(y). Les Mathématiciens anglosaxons omettent la définition du prédicament de l'injection accolé à la fonction par les Mathématiciens francophones. L'uniformité ou l'univocité définit à la fois une fonction et son injectivité chez les Anglosaxons. Ces derniers utilisent l'expression "One-to-one", traduite en français, univoque.   A function f is one-to-one if :
a) f(x) = f(y) a x = y ;
or
b) x≠y a f(x)≠f(y).

Or une telle formulation de l'univocité revient à la définition d'une fonction injective chez les Mathématiciens francophones.

2. Application. Historiquement, dans un souci d'exactitude la notion de fonction, vague, fut remplacée par la notion d'application :
"Une fonction de la variable x n'est pas nécessairement définie pour toutes les valeurs de la variable x" (Jacqueline Lelong-Ferrand, Les notions de mathématiques de base dans l'enseignement du second degré, Paris, Librairie Armand Colin, 1964, p. 33).

L'introduction d'un domaine de définition par delà l'ensemble de départ et d'une image par delà l'ensemble d'arrivée a clarifié les mouvements des variables d'une fonction. Une application, comme l'envoi d'une lettre par la poste, implique un lieu d'expédition et un lieu de destination. On passe de la fonction à l'application en plongeant les fonctions dans les deux ensembles précédemment cités. Soit la notation usuelle de la fonction :

f : x |→ y.

Domaine de définition de f ou domf := { x/$y et (x,y) ∈ f }.
Domaine des valeurs ou Image de f ou imf := { y/$x et (x,y) ∈ f }.
L'axiome de remplacement de la théorie axiomatique des ensembles selon Zermelo-Fraenkel accorde la qualité d'un ensemble à l'image d'un ensemble X par une application f :

f(X) := {f(x) /x ∈ X}.

Pour représenter une application f de A dans B, on écrit  f  ⊂ A x B (lire : "f est inclus dans A croix B");
En fait, c'est une fonction f à valeurs dans B, et dont le domaine de définition est A. A := Domf et Imf  ⊂ B. Into est la traduction anglosaxonne de la préposition dans (mu en kikongo).
Une application f de A sur B est une fonction f à valeurs sur B, et dont A := Domf et Imf := B. Onto est la traduction anglosaxonne de la préposition sur (ga en kikongo).   

3. Surjection. Quel que soit un élément d'arrivée y d'un ensemble B, il existe au moins un élément de départ x appartenant à un ensemble de départ A. On définit de la sorte une application ou une fonction surjective. Mais une telle définition est redondante pour les Mathématiciens slaves ou russes. Dans leurs manuels, ils omettent la définition d'une surjection. En rappelant toutefois l'unicité de y ou de f(x), cela revient à une simple définition d'une fonction :

"On appelle fonction [...] la relation binaire f si pour tous x, y et z il s'ensuit de (x,y) ∈ f et (x, z) ∈ f que y = z" (L. Koulikov, Algèbre et Théorie des nombres, Moscou, Editions Mir, 1982, p. 51).

Autrement relaté à chaque variable de départ correspond une unique variable d'arrivée. La définition d'une fonction sous-entend celle de son unicité. 

4. Fonctions multiformes. La surjection à elle seule peut cacher des fonctions multiformes dans lesquelles une variable de départ correspond à plusieurs images d’arrivée.  Notamment, les fonctions racines nièmes, les fonctions logarithmiques associent à tout nombre complexe plusieurs racines ou plusieurs images. Elles y sont multiformes. Elles ne sont pas continues dans tout l’ensemble des nombres complexes. Comment travailler à la fois sur leur continuité et sur leur uniformité ? Pour des "raisons d’état", il faut sacrifier la continuité pour travailler sur l’uniformité. L’on ne peut pas parler d’unicité d’une collection d’arrivée, mais de plusieurs collections d’arrivée puisque l’idée de continuité d’une fonction est remise en question dans ce cas de multiformité. Pour soigner cet handicap, on va considérer une fonction multiforme comme un ensemble (au sens cantorien) de fonctions uniformes. Il y a autant de fonctions uniformes que de variables d’arrivée. Chaque surjection étant alors considérée comme une branche de la fonction multiforme. La première fonction uniforme sera appelée détermination principale. Si en partant d’un point d’origine placé sur la détermination principale, on effectue plusieurs tours trigonométriques, en passant en revue à chaque tour les valeurs de chaque branche de la fonction multiforme et que l’on retombe sur les valeurs initiales de la première fonction principale, ce point d’origine est appelé point de branchement. Géométriquement il sert de ralliement aux différentes fonctions uniformes, considérées comme des feuillets discontinus. Mais on n’est pas à bout de la continuité. Il faut d’abord interdire la traversée d’une branche à une autre, le changement de branchement pour tout dire, en introduisant une coupure sur la première détermination principale. Supposons deux points distincts a et b, l’un situé au bord de la ligne d’ouverture et l’autre placé plus à l’intérieur de cette ligne éloigné du premier. Après une entaille, a se divise en a’ et a" et b en b’ et b". Nous obtenons quatre points distincts disposés de telle sorte que a’ soit séparé de a" et b’ séparé de b". Grâce à la coupure, on gagne ainsi en uniformité d’une seule branche de la fonction multiforme. Nous réalisons une entaille sur la deuxième branche qui donne sur un bord deux points alignés c’ et d’ séparés respectivement de deux autres points alignés c" de d". Cette coupure sera réalisée à chaque branche respective rendant ainsi les feuillets séparés. L’Allemand Bernhard Riemann (1826-1866), étudiant de Carl Gauss (1777-1855) à Göttingen, va imaginer le raccordement d’un bord a’ de l’ouverture du premier feuillet au bord c" opposé de l’ouverture du feuillet adjacent, ainsi que le raccordement du bord b’ au bord d". Disons les bords a" et b" sont raccordés aux bords c’ et d’. On peut ainsi traverser tous les feuillets de façon continue, de a’ à c" puis de d" à b’; de b’ à o, le centre ; puis du centre à b" vers d’ ; puis de d’ à c’, passant de branche en branche de la fonction sans tourner en rond sur un seul feuillet. Les bandes rectangulaires a" b" o d’ c’ et a’ b’ o d" c" forment un entrecroisement. C’est l’ensemble de ces feuillets qui constitue une surface de Riemann.

Exercice. Nous demandons la représentation de la figure géométrique (la surface de Riemann) ainsi décrite.

Texte paru également dans La Lettre de L'IRIAN le 03 juillet 2007.

© Les éditions Bukonzo, Paris 2008.